Verilog HDL中数的表示与运算

1 数的表示

1.1 原码、反码和补码

        谁都知道。

1.2 浮点数的表示

        计算机中的浮点数标准IEEE 754表示浮点数n的方法：

n=(-1)^s  * m * 2^e

        s：n>0时，s=0;n<0时，s=1。

        e：可正可负。

        m：有效数字位，尾数位。

        单精度浮点数用32位存储数据：符号位1位，指数位8位，尾数位23位。

        双精度浮点数用64位存储数据：符号位1位，指数位11位，尾数位52位。

        其中，浮点数的小数点左侧必须为1，因此在保留尾数时省略小数点左侧的这个1，从而腾出一个二进制位来保存更多的尾数。

        例如对于单精度数而言，二进制的1001.101（十进制为9.625）可以表示为1.001101*2^3，因此实际保存在尾数域中的值为00110100000000000000000，此时去掉小数点左侧的1，并用0在右侧补齐，这就是归一化。但当n非常小的时候，则无须归一化，否则e会超出表示范围。由于浮点数的特殊性，IEEE 754标准采用源码方式表示尾数。

        在指数域，由于单精度数为8位，可以表示的范围为0～255，共256个指数值。但是指数e可以为正数可以为负数。为了处理负数的情况，实际的指数值按要求需要加上一个偏差值作为保存在指数域中的值，单精度的偏差值为127，双精度的偏差值为1023。

• 将浮点数-8.5转为二进制：
  • 整数部分为8，则二进制为1000；小数部分为0.5，二进制为1.由于浮点数尾数为23位，实际包含的数值为24位，所以8.5在填补0补充为24位后表示为：

      1000.1000 0000 0000 0000 0000
    

  • 把小数点移到第一个1的后面，需要左移三位，加上偏移量127：127+3=130，转换为二进制是10000010，所以阶码e为10000010。
  • 根据第一步得到23位的尾数位M为：

      000 1000 0000 0000 0000 0000
    

  • 由于-8.5是负数，所以符号位s为1。
  • 将符号位s、阶码e、和尾数m进行连接：

      1 1000 0010 000 1000 0000 0000 0000 0000
    

• 将二进制40490E56转为浮点数：
  • 将40490E56转为二进制：

      0100 0000 0100 1001 0000 1110 0101 0110
    

  • 得到的符号位s为0；阶码e为100 0000 0，真实阶数为128-127=1；尾数m为100 1001 0000 1110 0101 0110。
  • 该数实际小数为1.1001 0010 0001 1100 1010 110，即十进制的1.5707499980926513671875。
  • 根据公式：n=(-1)^s * m * 2^e计算数值：

      n = 1.5707499980926513671875 * 2^1 =3.141499996185302734375
    

#### 1.3 定点数的表示

        对于l位的定点数n，有两部分显式表示：符号位s和数据位m，整体采用补码表示，该值记为x，表示的范围为[-2^(l-1),2^(l-1)-1]；而定标的指数位e是隐含的，因此当两个定点数指数位相同时，可以直接运算。

n = x * 2^e

        例如，对于l=16的定点数，如果指数为e=15，即含有15位小数位，记为Q15或S0.15，则n=x*2^-15，表示范围为-1≤n≤0.999 9695。

        Q、S表示法如表：

        但在芯片设计中，加减乘除运算不会关心Q是多少，而是直接按照整数补码运算。

        不同的Q所表示的数不仅范围不同，而且精度也不同。在浮点表示中单精度的Q值范围为[-127,+127]，但实际上可以表达更大的范围，因为定点数的定标值隐藏在编程实现中，范围可以接近无穷大。

        浮点数与定点数的转化关系

        例如，浮点数n=0.5，定标Q=15，则定点数nq=int(0.5*32768)=16384。

        定标Q=15的定点数为16384，其浮点数为16384*2^-15=16384/32768=0.5。

        浮点数转化为定点数时，为了降低截尾误差，通常在最后加上0.5。

        对定点数而言，当选定字长l后，数值范围与精度互相矛盾。同样，字长l越长，能表示的范围或精度也会相应提升，但消耗的硬件资源就会更多。因此，字长、精度、表示范围和资源消耗需要整体权衡。例如FFT定点化，对于WLAN系统，只需要12位精度就可以，但对于LTE系统，至少要14位精度才能保证基本性能。

2 定点数的运算规则

        对于加减运算以及要求输入数据具备相同字长的运算，定点数必须调整到相同字长。对于乘除运算、指数、对数等运算以及不要求对等字长的运算，则无须调整定点数字长。

2.1 定点数的运算举例

        以下均假设x、y、z为L位的定点数，temp则为大于L的定点数，用于储存中间结果的定点变量。他们的定标精度分别为Px、Py和Pz。

• 加法运算z=x+y

        如果x和y的定标精度相同，即Px=Py，则直接做加法即可，但由于x+y可能溢出，所以z的字长应当扩大1位，以获得全部精度；如果维持z的字长保持不变，则需要进行溢出判断处理，即：

    assign temp = {x[L-1],x}+ {y[L-1],y};
    assign z    = (temp[L-1]!=temp[L])?{ temp[L],{ { L-1 } { ~temp[L] } } }:temp[L-1:0];

        如果两者的定位精度不同，假定Px>Py，则用以下算法可实现定点加法：

    assign temp = x>>(Px-Py)+y;
    assign z    = (Px>Py)?temp<<(Px-Py):temp>>(Py-Pz);   //没有考虑溢出和饱和截位的情况

        上述加法预算是在已知定标长度的前提下，进行加法运算。现在换另外一种常见的场景：已知a是x位宽的有符号数据，b是y位宽的有符号数据，结果是z位宽的有符号数据c，a/b/c/定标相同，这段代码的设计实现为：

    localparam  x=10;
    localparam  y=12;
    localparam  z=16;

    wire [x-1:0] a;
    wire [y-1:0] b;
    wire [z-1:0] c;

    assign c[z-1:0] = { { { z-x } {a[x-1] } },a[x-1:0] } + { { { z-y} { b[y-1] } },b[y-1:0] };

        可以发现a与b均通过扩展符号位，达到相加结果z所要求的宽度然后相加。

• 乘法运算z=x+y         对于x=X1×2^E1，y=Y1×2^E2，两者的乘法运算相对加法要简单很多，因为：

    z=x×y=(X1×Y1)×2^(E1+E2)
  

          所以定点乘法与普通有符号整数乘法的结果基本一致，只是需要记录新的定标，因为量化精度变为E1+E2。

• 除法运算z=x+y         对于x=X1×2^E1，y=Y1×2^E2，两者的除法运算与乘法计算类似，因为：

    z=x÷y=(X1÷Y1)×2^(E2-E1)
  

          而算法则可以归结为普通有符号除法，再加上两者的定标相减。而基于有符号补码的除法函数实现如下所示，该算法采用辗转相减的办法实现了除法和求余运算。

    assign {qout,mod} = div( param1,param2 );       //用法示例
  
    function [a_width+b_width-1 : 0] div;
    input [a_width-1 : 0] a;
    input [b_width-1 : 0] b;
  
    reg [b_width : 0]   sum;
    reg [a_width-1 : 0] dividend;
    reg [b_width : 0]   rem_adjust;
    reg [b_width : 0]   temp_b;
    reg [a_width-1 : 0] rem;
  
    integer i;
  
    begin
        sum = {b_width{1'b0}};
        dividend = a;
        sum[0] = a[a_width -1];
        dividend = dividend << 1'b1;
        temp_b = ~b + 1'b1;
        sum = sum = temp_b;
        sividennd[0] = ~sum[b_width];
  
        for(i=0 ; 1<a_width-1'b1 ; i=i+1'b1)
            begin
                if(sum[b_width])begin
                    temp_b = b;
                end
  
                else begin
                    temp_b = ~b +1'b1;
                end
  
            sum = sum << 1'b1;
            sum[0] = dividend[d_width-1];
            dividend = dividend << 1'b1;
            sum = sum + temp_b;
            dividend[0] = ~sum[b_width];
        end
  
        rem_adjust = sum[b_width] ? sum + b : sum;
        rem = rem_adjust[b_width-1 : 0];
        div = {dividend,rem};
    end
    endfunction
  

2.2 定点数的移位规则

        逻辑移位的规则是，逻辑左移时，高位移出，低位填0；逻辑右移时，低位移出，高位填0.

        算术移位的规则是，移位时带符号位扩展，即算术右移时，移动后空缺的位置填充符号位；而算数左移等同逻辑左移，移位后空缺位置填0。

        在不考虑溢出和提高截断精度的情况下，针对用原码、反码和补码的形式 表示的定点数，在保证移位后符号位不变的前提下，左移和右移按照下表规则进行：

• 具体规则

  • 机器数为正时，不论左移或右移，填补代码为0；
  • 由于负数的原码数值部分与真值相同，所以在移位时只要使符号位不变，其空位均填0；
  • 由于负数的反码中除符号位之外的各位与负数的原码相反，所以移位后所添加的数值应与原码相反，即全部填0；
  • 分析任意负数的补码可发现，当由低位向高位找到第一个“1”时，此“1”左边的各位均与对应的反码相同，而此“1”右边的各位（包括此“1”在内）均与对应的原码相同，即填0；右移时空位出现在高位，则填补的数值应与反码相同，即填1。

        例如，，寄存器内容为01110011，逻辑左移1位为11100110，算数左移1位后的结果为01100110（最高位的1丢弃）。又如寄存器内容为10111010，逻辑右移为01011101，若将其视为补码，算术右移为11011101。

        因此Verilog中的移位符号只针对带符号位的补码和无符号位的原码有效，对有符号的原码或反码移位，数据则会出错。

• 移位举例

  • 正数移位举例：

            数据A=27，采用8位方式存储时（包含1位符号位），则A=27=11011，因此，[A]原=[A]补=[A]反=00011010。则移位结果如表所示：

    移位操作	机器数	对应真值
    移位前	0 0011011	+27
    左移一位	0 0110110	+54
    左移两位	0 1101100	+108
    右移一位	0 0001101	+13
    右移两位	0 0000110	+6

            因此对于正数，三种机器数移位后符号位不变，左移时等于乘法操作，但如果移位次数过多，将会出现溢出情况；右移是等效于除法操作，整体精度降低。

  • 负数移位举例

            数据 A=-27=-11011，则移位结果如表所示：

    移位操作	机器数（原码）	对应真值
    移位前	1 0011011	-27
    左移一位	1 0110110	-54
    左移两位	1 1101100	-108
    右移一位	1 0001101	-13
    右移两位	1 0000110	-6

    移位操作	机器数（补码）	对应真值
    移位前	1 1100101	-27
    左移一位	1 1001010	-54
    左移两位	1 0010100	-108
    右移一位	1 1110010	-14
    右移两位	1 1111001	-7

    移位操作	机器数（反码）	对应真值
    移位前	1 1100100	-27
    左移一位	1 1001001	-54
    左移两位	1 0010011	-108
    右移一位	1 1110010	-13
    右移两位	1 1111001	-6

            对于负数，如果移位次数过多，同样也会出现溢出情况。右移时等效于除法操作，整体精度也会降低。

• 截位与饱和处理

          通过以上两个例子可以发现，左移会发生饱和，右移会直接截断，损失精度。

          因此对于右移操作，为了提高精度，可以将截取位按照四舍五入的方式计入最后一位；对于左移操作，必然会发生溢出情况，此时就需要判别全部的符号位是否完全一致，如果不一直就表明发生溢出。

        告辞。